\chapter{1830年，从力学平衡到能量最小：\\高斯对杨-拉普拉斯理论的统一}
\author{李国斌}
\date{2025.08.30}
	
	\begin{abstract}
		19世纪初，托马斯·杨（Thomas Young）与皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）分别从能量学和力学的独立视角，建立了描述界面现象的杨-拉普拉斯方程和杨氏接触角方程。这两个方程在表面科学中长期并存，看似描述了不同层面的平衡。19世纪中叶，数学大师卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）通过应用**变分法**（Calculus of Variations）和**最小能量原理**（Principle of Minimum Energy），为杨-拉普拉斯理论提供了一个更为普遍和根本的理论框架。本文旨在详细阐释高斯统一性推导的核心思想，论证其如何自然且必然地导出杨-拉普拉斯方程与杨氏方程，从而证明能量学观点是界面现象的终极判据，而力学平衡是其必然结果。
		
		\textbf{关键词：} 变分法；最小能量原理；高斯原理；杨-拉普拉斯方程；杨氏方程；统一性
	\end{abstract}
	
	\section{引言：两种路径的汇流}
	表面科学在诞生之初便存在着两种并行的描述体系：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{拉普拉斯的力学路径：} 基于牛顿力学的平衡，分析作用在曲面微元上的压力与张力，导出描述曲率与压力差关系的**杨-拉普拉斯方程**：$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$。
		\item \textbf{杨的能量学路径：} 基于物理直觉和虚功原理，从系统总能量极值的角度，导出了描述三相接触线平衡的**杨氏方程**：$\gamma_{sg} = \gamma_{sl} + \gamma_{lg} \cos\theta$。
	\end{itemize}
	尽管两个方程都经受住了实验的检验，但它们在理论基础上似乎相互独立。一个根本性问题悬而未决：是否存在一个更基本的物理原理，能够同时孕育出这两个方程？高斯的功绩正在于回答了这个问题。
	
	\section{高斯的统一框架：变分法与最小能量原理}
	
	\subsection{核心思想}
	高斯认为，一个处于平衡状态的孤立系统，其总能量（在此场景下包括表面能和势能）必须取极小值。任何对系统平衡状态的、允许的**虚位移**（Virtual Displacement），所引起总能量的一阶变分（First Variation）必须为零。这正是**最小能量原理**的核心内容。
	
	对于一個毛细系统，总能量$\Pi$可以写为：
	\begin{equation}
		\Pi = E_{\text{surface}} + E_{\text{gravitational}} = \sum (\gamma_i A_i) + \iiint \rho g z  dV
	\end{equation}
	高斯的目标即：在一定的约束条件下（如液体体积不变），寻找使总能量$\Pi$取极小值的那个界面形状$S(x,y,z)$和接触线位置。
	
	\subsection{推导概述：从能量变分到力学平衡}
	
	\subsubsection{1. 体内液面的形状：推导杨-拉普拉斯方程}
	考虑液体内部一个弯曲液面。系统总能量的变化来源于表面能的变化$\gamma \delta A$和重力势能的变化$\delta E_g$。
	
	对总能量$\Pi$进行变分运算，要求一阶变分$\delta \Pi = 0$。通过应用变分法中的欧拉-拉格朗日方程，可以证明，为了最小化总能量，液面必须满足以下条件：
	\begin{equation}
		\delta \Pi = \int_S \left( \Delta P - \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \right) \delta \zeta  dS = 0
	\end{equation}
	其中$\delta \zeta$是液面法向方向的虚位移。由于该虚位移是任意的，要使积分恒为零，其被积函数必须处处为零：
	\begin{equation}
		\Delta P - \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)
	\end{equation}
	这恰好就是**杨-拉普拉斯方程**。由此，高斯从“能量最小”这一最普遍的物理原理，严格地推导出了拉普拉斯的“力学平衡”方程。这表明，力平衡是能量极值的必然结果和外在表现。
	
	\subsubsection{2. 三相接触线的平衡：推导杨氏方程}
	现在，将变分原理应用于固体、液体、气体三相交汇的边界线上。
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
			% Solid Surface
			\draw[thick, fill=gray!20] (-1,0) rectangle (2, -0.2);
			\node at (0.5, -0.5) {固体};
			% Liquid-Vapor interface (circular arc)
			\draw[blue, thick] (0,0) arc (180:0:1);
			\node[blue] at (1, 0.7) {液-气界面};
			% Contact Points
			\draw[dashed] (0,0) -- (0, 1);
			% Contact Angle
			\pic [draw, ->, "$\theta$", angle eccentricity=1.2, angle radius=0.5cm] {angle = (0,1)--(0,0)--(1,0)};
			% Virtual Displacement
			\draw[->, thick, red] (0.3, 0.1) -- (0.5, 0.3) node[midway, above left] {$\delta x$};
			\node at (1.5, -0.8) {虚位移导致界面面积变化};
		\end{tikzpicture}
		\caption{三相接触线的虚位移。液体在固体表面发生一个水平虚位移$\delta x$，会导致固-液、固-气界面面积发生变化，从而引起系统总表面能的变化。}
	\end{figure}
	
	考虑液体在固体表面上发生一个水平的虚位移$\delta x$。此位移会引起：
	\begin{itemize}
		\item 固-液界面面积增加：$\delta A_{sl} = L \delta x$（$L$为接触线长度）
		\item 固-气界面面积减少：$\delta A_{sg} = -L \delta x$
		\item 液-气界面面积变化：$\delta A_{lg} = L \delta x \cos\theta$（几何关系）
	\end{itemize}
	因此，系统总表面能的变分为：
	\begin{align}
		\delta E_{\text{surface}} &= \gamma_{sl} \delta A_{sl} + \gamma_{sg} \delta A_{sg} + \gamma_{lg} \delta A_{lg} \\
		&= \gamma_{sl} (L \delta x) + \gamma_{sg} (-L \delta x) + \gamma_{lg} (L \delta x \cos\theta)
	\end{align}
	根据最小能量原理，系统平衡时，总能量一阶变分为零($\delta \Pi = \delta E_{\text{surface}} = 0$)，故：
	\begin{equation}
		\gamma_{sl} L \delta x - \gamma_{sg} L \delta x + \gamma_{lg} L \delta x \cos\theta = 0
	\end{equation}
	消去公因子$L \delta x$（因其不为零），得到：
	\begin{equation}
		\gamma_{sl} - \gamma_{sg} + \gamma_{lg} \cos\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \gamma_{sg} = \gamma_{sl} + \gamma_{lg} \cos\theta
	\end{equation}
	这正是**杨氏接触角方程**。高斯再次从能量最小原理出发，毫无例外地推导出了杨的公式。
	
	\section{结论：能量学思想的根本性胜利}
	高斯的变分法推导具有深刻的科学哲学意义：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{统一性与普遍性：} 高斯框架将杨和拉普拉斯看似独立的理论完美地统一到一个单一、简洁、强大的物理原理之下——**最小能量原理**。这表明，能量法具有最高的普遍性，是更基本的描述层次。
		\item \textbf{因果关系的明确：} 推导过程清晰地表明，**力学平衡是能量极值的必然结果**，而非原因。液面呈现特定曲率是因为那样能使总能量最低；接触角取特定值也是因为那样能使总能量最低。这证明了杨的能量学思想在本质上比拉普拉斯的力学分析更为根本。
		\item \textbf{现代应用的基石：} 高斯的这一方法奠定了现代计算表面科学的基础。许多用于模拟复杂界面形态（如细胞膜、多孔介质中的液囊）的数值算法（如相场法、水平集法），其核心思想就是最小化系统的总自由能，这直接继承了高斯的理论遗产。
	\end{enumerate}
	
	综上所述，高斯通过精湛的数学工具，不仅解决了杨-拉普拉斯理论在基础上的二元性问题，更极大地提升了理论的高度和美感。他最终证明了托马斯·杨那看似基于直觉的能量学思想，才是理解界面现象最深刻、最根本的钥匙。拉普拉斯的力学方程和杨的接触角方程，都只不过是这把钥匙所打开的两扇必然之门。
	

		The fundamental energy minimization approach to capillarity was rigorously formulated by Gauss \cite{Gauss1830}.
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem[Gauss(1830)]{Gauss1830}
			Gauss, C. F.
			\newblock \textit{Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii}.
			\newblock Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol.~7 (1830), pp.~39--88. (Also in: \textit{Werke}, Vol.~5, pp.~29--77).
		\end{thebibliography}
